Wissenschaftliche Grundlagen der Geometrie und Arithmetik. Euklid, Elementa. Aus Buch 1 und 7: Beispiele für Definitionen, Postulate, Axiome, Konstruktionsaufgaben und Beweise.

Deutsche Übersetzung: Eukild, Die Elemente, Buch I - XIII. Hg. und ins Deutsche übersetzt von Clamens Thaer, (1883 - 1888, 1933 - 1937) ND Darmstadt 1962 2, S. 1 - 4, 32, 141 - 144.


I. Buch.

Definitionen.

1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat,

2. Eine Linie ist breitenlose Länge.

3. Die Enden einer Linie sind Punkte.

4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.

5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.

6. Die Enden einer Fläche sind Linien.

7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmäßig liegt.

8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen.

9. Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig.

10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter; und die stehende gerade Linie heißt senkrecht zu (Lot auf) der, auf der sie steht.

11. Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist,

12. Spitz ist ein Winkel, wenn er kleiner als ein Rechter.

13. Eine Grenze ist das, worin etwas endigt.

14. Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfaßt wird.

15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfaßte Figur mit der Eigenschaft, daß alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind;

16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.

17. Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft, den Kreis zu halbieren.

18. Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und dem durch ihn abgeschnittenen Bogen umfaßte Figur; [und Mittelpunkt ist beim Halbkreise derselbe Punkt wie beim Kreise].

19. (20-23) Geradlinige Figuren sind solche, die von Strecken umfaßt werden, dreiseitige die von drei, vierseitige die von vier, vielseitige die von mehr als vier Strecken urn/a ßten.

20. (24-26) Von den dreiseitigen Figuren ist ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten, ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten, ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten.

21. (27-29) Weiter ist von den dreiseitigen Figuren ein rechtwinkliges Dreieck jede mit einem rechten Winkel, ein stumpfwinkliges jede mit einem stumpfen Winkel, ei'h spitzwinkliges jede mit drei spitzen Winkeln.

22. (30-34) Von den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist, ein längliches Rechteck jede, die zwar rechtwinklig aber nicht gleichseitig ist, ein Rhombus jede, die zwar gleichseitig aber nicht rechtwinklig ist, ein Rhomboid jede, in der die gegenüberliegenden Seiten sowohl als Winkel einander gleich sind und die dabei weder gleichseitig noch rechtwinklig ist; die übrigen vierseitigen Figuren sollen Trapeze heißen.

23. (35) Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen.

Postulate

Gefordert soll sein,

1. daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,

2. daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,

3. daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,

4. (Ax. 10) daß alle rechten Winkel einander gleich sind,

5. (Ax. 11) und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.

Axiome.

1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.

2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.

3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.

4. [Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen ungleich.]

5. (6) [Die Doppelten von demselben sind einander gleich.]

6. (7) [Die Halben von demselben sind einander gleich.]

7. (8) Was einander deckt, ist einander gleich.

8. (9) Das Ganze ist größer als der Teil.

9. (12) [Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum.]

§ 1 (A. 1).

Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten.

Die gegebene Strecke sei A B. Man soll über der Strecke A B ein gleichseitiges Dreieck errichten.

Mit A als Mittelpunkt und A B als Abstand zeichne man den Kreis B C D (Post. 3), ebenso mit B als Mittelpunkt und B A als Abstand den Kreis A C F; ferner ziehe man vom Punkte C, in dem die Kreise einander schneiden, nach den Punkten A, B die Strecken C A, C B (Post. 1).

Fig. 1.

Da Punkt A Mittelpunkt des Kreises C D B ist, ist A C A B (I, Def. 15); ebenso ist, da Punkt B Mittelpunkt des Kreises C A F ist, B C B A. Wie oben bewiesen, ist auch C A = A B; also sind C A und C B beide = A B. Was aber demselben gleich ist. ist auch eiandner gleich (Ax. 1); also ist auch C A = C B; also sind C A, A B, B C alle dreieinander gleich.

Also ist das Dreieck A B C gleichseitig (I, Def. 20); und es ist über der gegebenen Strecke A B errichtet - was auszuführen war.

§ 47 (L. 33).

Am rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite den Quadraten über den den rechten Winkel umfassenden Seiten zusammen gleich.

A B C sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel B A C. Ich behaupte, daß B C2 = B A2 + A C2.

Man zeichne nämlich über B C das Quadrat B D E C (I, 46) und über B A, A C die Quadrate GB, H C; ferner ziehe man durch A A L // B D oder C E und ziehe A D, F C.

Da hier die Winkel B A C, B A G beide Rechte sind, so bilden an der geraden Linie B A im Punkte A auf ihr die zwei nicht auf derselben Seite liegenden geraden Linien A C, A G Nebenwinkel, die zusammen = 2 R. sind; also setzt C A A G gerade fort (I, 14). Aus demselben Grunde setzt auch B A A H gerade fort. Ferner ist Winkel D B C = Winkel F B A; denn beide sind Rechte (Post. 4); daher füge man A B C beiderseits hinzu; dann ist der ganze Winkel D B A dem ganzen F B C gleich (Ax. 2). Da ferner D B = B C und F B = B A (I, Def. 22), so sind zwei Seiten D B, B A zwei Seiten F B, B C (überkreuz) entsprechend gleich; und Winkel D B A ist gleich dem Winkel F B C; also ist Grundlinie A D = Grundlinie F C und Dreieck A B D = Dreieck F B C (I, 4). Ferner ist das Pgm. B L = 2 mal Dreieck A B D; denn sie haben dieselbe Grundlinie B D und liegen zwischen denselben Parallelen B D, A L (I, 41); auch ist das Quadrat G B = 2 mal so groß wie das Dreick F B C; denn sie haben wieder dieselbe Grundlinie, nämlich F B, und liegen zwischen denselben Parallelen F B, G C.

Fig. 2.

[Von Gleichem die Doppelten sind aber einander gleich (Ax. 5).] Also ist Pgm. B L = Quadrat G B. Ähnlich läßt sich, wenn man A E, B K zieht, zeigen, daß auch Pgm. C L = Quadrat H C ist; also ist das ganze Quadrat B D E C den zwei Quadraten G B + H C gleich (Ax. 2). Dabei ist das Quadrat B D E C über B C gezeichnet und G B, H C über B A, A C. Also ist das Quadrat über der Seite B C den Quadraten über den Seiten B A, A C zusammen gleich - S.


VII. Buch.

Definitionen.

1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird.

2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.

3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der größeren, wenn sie die größere genau mißt;

4. und Menge von Teilen, wenn sie sie nicht genau mißt;

5. und Vielfaches die größere von der kleineren, wenn sie von der kleineren genau gemessen wird.

6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren läßt;

7. und ungerade die, die sich nicht halbieren läßt, oder die sich um die Einheit von einer geraden Zahl unterscheidet.

8. Gerademal gerade ist die Zahl, die sich von einer geraden Zahl nach einer geraden Zahl messen läßt.

9. Gerademal ungerade ist die Zahl, die sich von einer geraden Zahl nach einer ungeraden Zahl messen läßt.

10. Ungerademal ungerade ist die Zahl, die sich von einer ungeraden Zahl nach einer ungeraden Zahl messen läßt.

11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit messen läßt.

12. Gegeneinander prim sind Zahlen, die sich nur durch die Einheit als gemeinsames Maß messen lassen.

13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine (andere) Zahl messen läßt.

14. Gegeneinander zusammengesetzt sind Zahlen, die sich durch irgendeine Zahl als gemeinsames Maß messen lassen.

15. Man sagt, daß eine Zahl eine Zahl vervielfältige, wenn die zu vervielfältigende so oft zusammengesetzt wird, wieviel Einheiten jene enthält, und sp eine Zahl entsteht.

16. Wenn zwei Zahlen bei gegenseitiger Vervielfältigung eine Zahl bilden, wird die entstehende eine ebene Zahl genannt, und die einander vervielfältigenden Zahlen ihre Seiten.

17. Wenn drei Zahlen bei gegenseitiger Vervielfältigung eine Zahl bilden, ist die entstehende eine körperliche Zahl, und die einander vervielfältigenden Zahlen sind ihre Seiten.

18. Quadratzahl ist eine Zahl gleichmal gleich, oder die von zwei gleichen Zahlen umfaßt wird.

19. Kubikzahl ist eine Zahl gleichmal gleichmal gleich, oder die von drei gleichen Zahlen umfaßt wird.

20. Zahlen stehen in Proportion, wenn die erste von der zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist wie die dritte von der vierten.

21. Ähnliche ebene und körperliche Zahlen sind solche, deren Seiten in Proportion stehen.

22. Eine vollkommene Zahl ist eine solche, die ihren Teilen zusammen gleich ist.

§ 1 (L.1).

Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher Zahlen abwechselnd immer die kleinere von der größeren weg, so müssen, wenn niemals ein Rest die vorangehende Zahl genau mißt, bis die Einheit übrig bleibt, die ursprünglichen Zahlen gegeneinander prim sein.

Bei zwei [ungleichen] Zahlen A B, C D möge, wenn man abwechselnd immer die kleinere von der größeren wegnimmt, niemals ein Rest die voran gehende Zahl genau messen, bis die Einheit übrig bleibt.

Fig. 3.

Ich behaupte, daß A B, C D gegeneinander prim sind, d. h. daß nur die Einheit A B, C D zugleich mißt.

Wären nämlich A B, C D nicht gegeneinander prim, so müßte eine Zahl sie messen. Dies geschehe, die Zahl sei e.

Dann lasse C D, indem es B F mißt, F A, kleiner als es selbst, übrig; und A F lasse, indem es D G mißt, G C kleiner als es selbst übrig; und G C lasse, indem es F H mißt, die Einheit H A übrig.

Da e C D messen soll und C D B F mißt, mäße e auch B F; es soll aber auch das Ganze B A messen, müßte also auch den Rest A F messen. A F mißt aber D G; also mäße e auch DG; es soll aber auch das Ganze D C messen, müßte also auch den Rest C G messen. C G mißt aber F H; also mäße e auch F H; es soll aber auch das Ganze F A messen, müßte also auch A H, die übrigbleibende Einheit messen, während es eine Zahl ist; dies ist unmöglich (VII, Def. 2).

Also kann keine Zahl die Zahlen A B, C D zugleich messen; A B, C D sind also gegeneinander prim (VII, Def. 12) -

was zu beweisen war.

§ 2 (A. 1)

Zu zwei gegebenen Zahlen, die nicht prim gegeneinander sind, ihr größtes gemeinsames Maß zu finden.

Die zwei gegebenen Zahlen, die nicht prim gegeneinander sind, seien A B, C D. Man soll das größte gemeinsame Maß von A B, C D finden.

Fig 4.

Wenn CD hier A B mißt - sich selbst mißt es auch - dann ist C D gemeinsames Maß von C D, A B. Und es ist klar, daß es auch das größte ist; denn keine Zahl > C D kann C D messen.

Wenn C D aber A B nicht mißt, und man nimmt bei A B, C D abwechselnd immer das kleinere vom größeren weg, dann muß [schließlich] eine Zahl übrig bleiben, die die vorangehende mißt. Die Einheit kann nämlich nicht übrig bleiben; sonst müßten A B, C D gegeneinander prim sein (VII, 1), gegen die Voraussetzung. Also muß eine Zahl übrig bleiben, die die vorangehende mißt. C D lasse, indem es B E mißt, E A, kleiner als es selbst, übrig; und E A lasse, indem es D F mißt, F C, kleiner als es selbst, übrig; und CF messe A B.

Da C F A E mißt und A E D F, muß C F auch D F messen; es mißt aber auch sich selbst, muß also auch das Ganze C D messen. C D mißt aber B E; also mißt C F auch B E; es mißt aber auch E A, muß also auch das Ganze B A messen. Und es mißt auch C D; C F mißt also A B und C D; also ist C F gemeinsames Maß von A B, C D.

Ich behaupte, daß es auch das größte ist. Wäre nämlich C F nicht das größte gemeinsame Maß von A B, C D, so müßte irgendeine Zahl > C F die Zahlen A B und C D messen. Dies geschehe, die Zahl sei g. Da g dann C D mäße und C D B E mißt, mäße g auch B E; es soll aber auch das Ganze B A messen, müßte also auch den Rest A E messen. A E mißt aber D F; also müßte g auch D F messen; es soll aber auch das Ganze D C messen, müßte also auch den Rest C F messen; als größere Zahl die kleinere; dies ist unmöglich. Also kann keine Zahl > C F die Zahlen A B, C D messen; C F ist also das größte gemeinsame Maß von A B, C D

- was zu beweisen war.

Zusatz: Hiernach ist klar, daß eine Zahl die zwei Zahlen mißt, auch ihr größtes gemeinsames Maß messen muß

- was zu beweisen war.


LV Gizewski WS 2002/2003

Bearbeitung für das Internet: Christian Gizewski (EP: gizeoebg@linux.zrz.tu-berlin.de)