Die Berechnung des Erdumfangs. Aus Kleomedes, Kreistheorie der Gestirne, Buch 1, Kap. 10.

Dt. Übersetzung nach A. Czwalina, Kleomedes, Die Kreisbewegung der Gestirne, Leipzig 1927, S. 33 - 36. Griech. Textauszug (Kleomedes, Meteora 1, 10, 52 f.) mit lat. Übersetzung: Cleomedis De motu circulari corporum caelestium libri II, ed. H. Ziegler, Leipzig 1891; S. 96 f.


Über die Größe der Erde bestehen bei den Physikern verschiedene Auffassungen. Besser als die übrigen sind die von Poseidonios und Eratosthenes. Eratosthenes schließt durch geometrische Betrachtungen auf die Größe der Erde, die Betrachtung des Poseidonios aber ist einfacher. Jeder von ihnen gelangt auf Grund gewisser Voraussetzungen durch Schlußfolgerungen zu seinen Ergebnissen. Wir wollen zunächst die Ableitung des Poseidonios erörtern.

Es heißt, daß Rhodos und Alexandria auf dem gleichen Meridian liegen. Meridiane sind solche Kreise, die von Pol zu Pol gehen und über den Scheitel des Beobachters hinweggehen. Die Pole sind für alle Beobachtungsorte die gleichen, der Punkt über dem Scheitel des Beohachters dagegen hängt von der Lage des Beobachtungsortes ab. Daher lassen sich unendlich viele Meridiane konstruieren. Rhodos und Alexandria nun liegen unter demselhen Meridian. Der Abstand zwischen den beiden Städten wird auf 5000 Stadien geschätzt. Es möge voraus geschickt werden, daß das zutrifft. Alle Meridiane sind nun Teile von größten Kreisen des Himmelsgewölbes. Sie gehen durch die Pole und teilen das Himmelsgewölbe in zwei gleiche Teile. Nun teilt Poseidonios den Tierkreis, dessen Länge den Meridianen gleich ist, da ja auch er die Welt in zwei gleiche Teile teilt, in achtundvierzig gleiche Teile, also jedes Zwölftel des Tierkreises in vier gleiche Teile. Wenn nun auch der Meridian von Rhodos und Alexandria in achtundvierzig gleiche Teile geteilt wird, so sind diese Teile ebenso groß wie die Teile des Tierkreises. Denn wenn gleiche Größen in gleichviele gleiche Teile geteilt werden, so sind auch diese Teile einander gleich. Poseidonios sagt nun, daß im Süden ein sehr heller Stern der Kanopus im Steuer des Schiffes Argo sei. Dieser kann in Griechenland nicht gesehen werden. Daher erwähnt seiner auch Aratos in den "Phaenomena" nicht. Wenn jemand nun von Norden nach Süden geht, so erblickt er ihn zum ersten Mal in Rhodos, und zwar geht er infolge der Drehung des Himmels unmittelbar nach seinem Aufgang wieder unter. Sobald wir nun die 5000 Stadien von Rhodos gefahren und in Alexandria angekommen sind, hat der Stern zur Zeit seiner Kulmination eine Höhe gleich dem vierten Teile eines Zwölftels des Tierkreises, also gleich dessen 48ten Teile. Es folgt also, daß das Stück des Meridians, das über der Strecke zwischen Rhodos und Alexandria gelegen ist, der 48ste Teil des ganzen Meridians ist, weil der Horizont der Rhodier und der Horizont der Bewohner von Alexandria um den 48sten Teil des Bogens der Kreisperipherie voneinander abweichen. Da nun die Strecke auf der Erde, die diesem Bogen des Himmelsmeridians entspricht, auf 5000 Stadien geschätzt wird, so ergibt sich, daß auch die übrigen Strecken auf der Erde, die den übrigen 47 Teilen des Meridians entsprechen, 5000 Stadien lang sind. Und so wird die Länge des größten Kreises der Erde zu 240000 Stadien gefunden, vorausgesetzt, daß Rhodos von Alexandria 5000 Stadien entfernt ist. Wenn dies aber nicht der Fall ist, so verändert sich dementsprechend der Umfang der Erde.

Dies also ist die Methode des Poseidonios. Die Methode des Eratosthenes ist geometrischer Natur und etwas undurchsichtiger. Das, was er sagt, wird aber deutlich werden, wenn wir folgendes vorausschicken. Wir wollen zuerst auch hier voraussetzen, daß Syene und Alexandria auf demselben Meridian liegen, ferner, daß die Entfernung dieser beiden Städte 5000 Stadien betrage, drittens, daß die von verschiedenen Teilen der Sonne zu verschiedenen Teilen der Erde gelangenden Strahlen einander parallel seien. Daß es sich so verhalte, nehmen die Mathematiker nämlich an. Viertens soll auch das vorausgesetzt werden, daß, wie in der Geometrie bewiesen wird, parallele Geraden von einer schneidenden Geraden unter gleichen Wechselwinkeln geschnitten werden, fünftens, daß zu gleichen Zentriwinkeln gleiche Bruchteile der Kreisumfänge gehören, das heißt, daß die zugehörigen Kreisbögen zu den ganzen Kreisumfängen das gleiche Verhältnis haben. Auch dies wird in der Geometrie bewiesen. Sobald nämlich Bögen zu gleichen Zentriwinkeln gehören und der eine der Bögen ist der l0te Teil seiner Kreisperiphene, so ist jeder der Bögen der 10te Teil seiner Kreisperipherie.

Wer diese Sätze beherrscht, der kann unschwer der Methode des Eratosthenes folgen. Sie ist die folgende: Er sagt, daß Syene und Alexandria unter dem gleichen Meridian liegen. Da nun die Himmelsmeridiane größte Kreise des Himmels sind, so müssen auch die unter ihnen liegenden Kreise auf der Erdoberfläche größte Kreise sein. Das Stück des Erdmeridians von Alexandria, das zwischen Alexandria und Syene liegt, ist daher der ebensovielte Teil des Erdumfangs wie das zugehörige Stück des Himmelsmeridians vom Umfang der Welt. Eratosthenes sagt nun, und so verhält es sich wirklich, daß Syene unter dem Wendekreis liegt. Wenn nun die Sonne im Zeichen des Krebses steht, und wenn sie zur Sommersonnenwende genau kulminiert, so sind die Zeiger der Sonnenuhren, da die Sonne gerade senkrecht über Syene steht, schattenlos. Und dies soll in einem Umfang von 300 Stadien geschehen. In Alexandria aber werfen die Zeiger zur gleichen Zeit einen Schatten, da diese Stadt ja nördlich von Syene gelegen ist. Da nun die beiden Städte auf dem gleichen Meridian liegen, so wird der Bogen, den wir vom Endpunkte des Schattens zum Fußpunkt des Zeigers hin bei der in Alexandria aufgestellten Uhr ziehen, ein Teil des größten Kreises der Höhlung der Sonnenuhr sein Wenn wir nun die Gerade jedes der beiden Zeiger der Uhren nach der Erde hin verlängern, so werden diese Geraden im Mittelpunkte der Erde einander schneiden. Da nun die Uhr in Syene genau unterhalb der Sonne steht, so wird die Gerade, die von der Sonne nach Syene gezogen gedacht wird, in die Verlängerung des zu Syene gehörigen Erdradius fallen. Die Gerade nun, die vom Endpunkt des Schattens des Zeigers der in Alexandria aufgestellten Uhr nach der Sonne gezogen wird, wird der vorerwähnten Geraden parallel sein, da ja beide Geraden von verschiedenen Teilen der Sonne zur verschiedenen Stelle der Erde hingehen. Diese beiden Parallelen werden von der Geraden geschnitten, die vom Zentrum der Erde zum Zeiger der Sonnenuhr in Alexandria hin gezogen wird. Die entstehenden Wechselwinkel sind also gleich. Der eine der beiden Winkel ist derjenige, den die beiden Erdradien miteinander bilden, der andere wird gebildet vom Zeiger der in Alexandria aufgestellten Uhr und der Geraden, die die Spitze des Zeigers mit dem Endpunkte des Schattens des Zeigers verbindet. Über diesem Winkel als Zentriwinkel steht ein Kreisbogen, nämlich derjenige, der den Endpunkt des Schattens mit dem Fußpunkt des Zeigers verbindet. Über dem im Erdmittelpunkt liegenden Winkel als Zentriwinkel steht als Kreisbogen der Meridianbogen zwischen Syene und Alexandria. Kreisbögen über gleichen Zentriwinkeln sind nun einander ähnlich. Der innerhalb der Höhlung der Sonnenuhr liegende Kreisbogen hat also zum Umfang des zu ihm gehörigen ganzen Kreises dasselbe Verhältnis wie der Meridianbogen von Alexandria bis Syene zum Umfang der Erde. Es stellt sich nun heraus, daß der in der Höhlung der Sonnenuhr gelegene Kreisbogen der 50ste Teil des zugehörigen Kreisumfangs ist. Es muß also auch die Entfernung zwischen Alexandria und Syene der 50ste Teil des Erdumfangs sein. Diese Entfernung beträgt aber 5000 Stadien. Der Erdumfang beträgt also 250 000 Stadien. Dies ist die Methode des Eratosthenes.

Es werden aber auch zur Zeit der Wintersonnenwende in beiden Städten Sonnenuhren aufgestellt. Es zeigt sich, daß von den beiden entstehenden Schatten der in Alexandria länger ist, da Alexandria vom südlichen Wendekreis weiter entfernt ist. Man findet nun den Schatten in Alexandria wiederum um den 50sten Teil des größten Kreises der Höhlung der Sonnenuhr größer als den Schatten in Syene. So wird aus dieser Anordnung ersichtlich, daß der Erdumfang 250000 Stadien beträgt. Es wird also der Erddurchmesser über 80000 Stadien groß sein, da er der dritte Teil des Erdumfangs ist.

Diejenigen nun, die da sagen, daß die Erde nicht kugelförmig sein könne wegen der Vertiefungen, in denen sich die Meere befinden, und der Erhebungen der Berge, sprechen unvernünftig. Die Höhe eines Berges ist nicht größer als 15 Stadien, und ebenso ist das Meer nicht tiefer. 30 Stadien haben aber zu mehr als 80000 Stadien ein verschwindend kleines Verhältnis. Es ist so, als ob auf einem Baue Staub liege. Die Erhöhungen auf den Früchten der Platanen hindern auch nicht, daß diese von kugelförmiger Gestalt sind. Und diese Erhebungen haben zu den gesamten Früchten ein viel größeres Verhältnis als die Meeresbecken und die Gebirgsmassive zu der Erdkugel.


Griechischer Textauszug mit lateinischer Übersetzung.


LV Gizewski SS 2001

Bearbeitung für das Internet: Christian Gizewski (EP: gizeoebg@linux.zrz.tu-berlin.de)